Question

17．若實數x₀滿足f（x₀）=x₀，稱x₀為函數f（x）的不動點．有下面三個命題：
（1）若f（x）是二次函數，且沒有不動點，則函數f（f（x））也沒有不動點；
（2）若f（x）是二次函數，則函數f（f（x））可能有4個不動點；
（3）若f（x）的不動點的個數是2，則f（f（x））的不動點的個數不可能是3．
它們中所有真命題的序號是（1）（2）．

Answer 1

分析 （1）由題意知關于x的方程f（x）=x沒有實數根，轉化為：函數y=f（x）和y=x的圖象沒有交點，根據二次函數、一次函數的圖象判斷即可；
（2）根據二次函數、四次函數的圖象判斷即可；
（3）設f（x）=x²-1，化簡f（f（x））=x后判斷出方程根的個數，結合新定義判斷．

解答 解：（1）由題意得，關于x的方程f（x）=x沒有實數根，
即函數y=f（x）和y=x的圖象沒有交點，
①當a＞0時，二次函數y=f（x）-x，
則y=ax²+（b-1）x+c的圖象在x軸的上方，
∴?x∈R，f（x）-x＞0恒成立，則?x∈R，f（x）＞x恒成立，
∴?x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立；
②當a＜0時，同理可證f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立；
綜上，f（x）沒有不動點，則函數f（f（x））也沒有不動點，（1）正確；
（2）因為f（x）是二次函數，
所以函數f（f（x））是一元四次函數，
則函數圖象與x軸可能有4個交點，
則則函數f（f（x））可能有4個不動點，（2）正確；
（3）當f（x）=x²-1時，則x²-1=x，即x²-x-1=0有兩個根，
即f（x）的不動點的個數是2，
則f（f（x））=x為：（x²-1）²-1=x，
化簡得，x⁴-2x²-x=0，即x（x²-2x-1）=0，
則方程x（x²-2x-1）=0有3個實數根，
即f（f（x））的不動點的個數是3，（3）不正確，
綜上可得，所有真命題的序號是（1）（2），
故答案為：（1）（2）．

點評 本題考查新定義的靈活應用，二次函數與二次方程關系，以及函數與方程的轉化問題，考查轉化思想，分析解決問題的能力，屬于中檔題．