Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的極值；

（2）當函數有兩個極值點，，總有成立，求整數t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）極大值為-7，的極小值為. （2）最大值為.

【解析】

（1）通過求出的導數，求出的單調區間，進而可得極值；

（2）對求導，函數有兩個極值點，可得在上有兩個不等的正實根，由韋達定理可得，再將代入可得恒成立，，求導，求出 的最小值即可.

解：（1），

故在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，

從而的極大值為，的極小值為；

（2）函數的定義域為，，

有兩個極值點，，

則在上有兩個不等的正實根，

由，可得，

由題，有，即恒成立，

令，，

設，因為，

所以在上單調遞增且當時，，又，

故存在，使得，即，，

所以在上單調遞減，上單調遞增，

故，

故，，

所以t的最大值為.