Question

如圖所示，圓柱的高為2，PA是圓柱的母線，ABCD為矩形，AB＝2，BC＝4，E、F、G分別是線段PA，PD，CD的中點．

(1)求證：平面PDC⊥平面PAD；

(2)求證：PB//面EFG；

(3)在線段BC上是否存在一點M，使得D到平面PAM的距離為2？若存在，求出BM；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明(1)∵PA是圓柱的母線，∴PA圓柱的底面．1分 　　∵CD圓柱的底面，∴PACD 　　又∵ABCD為矩形，∴CDAD 　　而ADPA＝A，∴CD平面PAD；3分 　　又CD平面PDC，∴平面PDC平面PAD．4分 　　(2)取AB中點H，連結GH，HE， 　　∵E，F，G分別是線段PA、PD、CD的中點， 　　∴GH∥AD∥EF， 　　∴E，F，G，H四點共面．6分 　　又H為AB中點，∴EH∥PB．7分 　　又面EFG，平面EFG， 　　∴PB∥面EFG．9分 　　(3)假設在BC上存在一點M，使得點D到平面PAM的距離為2，則以PAM為底D為頂點的三棱錐的高為2，連結AM，則AM＝＝， 　　由(2)知PAAM，∴SPAM＝ 　　∴VD－PAM＝＝＝；11分 　　∵ 　　∴；12分 　　∵VD－PAM＝ 　　∴＝，解得： 　　∵ 　　∴在BC上存在一點M，當使得點D到平面PAM的距離為2；14分