Question

設正方形 ABCD，點P在線段CD的延長線上，且P點到A點的距離為1，那么，四邊形ABCP的面積的最大可能值是（　　）

• A、

  5 +2

  4

• B、

  2

• C、

  5 +1

  2

• D、

  5

  +1

Answer 1

分析：由于直角三角形ADP的斜邊長是1，所以設直角邊AD=sinx （0＜x＜

π

2

），則把四邊形ABCP的面積表示成三角函數形式；然后利用三角函數的有關公式（特別是asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ）），把其轉化為正弦型函數；最后根據正弦函數的值域，求得四邊形ABCP面積的最大值．

解答：解：據題意畫圖如下
∵AP=1∴0＜AD＜1∴設AD=sinx （0＜x＜

π

2

）．
則PD=

1-sin2x

=cosx
∴S_ABCP=sin²x+

1

2

sinxcosx=

1

2

（1-cos2x）+

1

4

sin2x
=（

1

4

sin2x-

1

2

cos2x）+

1

2

=

5

4

sin（2x-φ）+

1

2

∴四邊形ABCP的面積的最大值是

5

4

+

1

2

，即

5 +2

4

．
故選A．

點評：當有些數據在[-1，1]內時，可利用三角知識把它設為sinα或cosα的形式，然后充分利用三角函數的有關知識進行化簡、運算，直至解決．否則問題可能會非常麻煩，甚至無法解決．