Question

設函數f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）當a=-1時，求函數y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）已知a＜0，若函數y=f（x）的圖象總在直線的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數f（x）的導函數．若a=1，試問：在區間[1，10]上是否存在k（k＜100）個正數x₁，x₂，x₃…x_k，使得f′（x₁）+f'（x₂）+f′（x₃）+…+f′（x_k）≥2012成立？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=-1時，，f′（1）=-1，由此能求出函數y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ），x＞0，a＜0．令f′（x）=0，則．由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）當a=1時，．記g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．由此入手能夠推導出在區間[1，10]上不存在使得f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≥2012成立的k（k＜100）個正數x₁，x₂，x₃…x_k．
解答：解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=-x²+lnx，，f′（1）=-1，
所以切線的斜率為-1．…（2分）
又f（1）=-1，所以切點為（1，-1）．
故所求的切線方程為：y+1=-（x-1）即x+y=0．…（4分）
（Ⅱ），x＞0，a＜0．…（6分）
令f′（x）=0，則．
當時，f′（x）＞0；當時，f′（x）＜0．
故為函數f（x）的唯一極大值點，
所以f（x）的最大值為=．…（8分）
由題意有，解得．
所以a的取值范圍為．…（10分）
（Ⅲ）當a=1時，．記g（x）=f′（x），其中x∈[1，10]．
∵當x∈[1，10]時，，∴y=g（x）在[1，10]上為增函數，
即y=f′（x）在[1，10]上為增函數．…（12分）
又，
所以，對任意的x∈[1，10]，總有．
所以f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≤，
又因為k＜100，所以．
故在區間[1，10]上不存在使得f'（x₁）+f'（x₂）+f'（x₃）+…+f'（x_k）≥2012成立的k（k＜100）個正數x₁，x₂，x₃…x_k．…（14分）
點評：本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．