Question

在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，設函數f（x）=k（x-2）+3的圖象為直線l，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，給出下列四個命題：
①存在正實數m，使△AOB的面積為m的直線l僅有一條；
②存在正實數m，使△AOB的面積為m的直線l僅有兩條；
③存在正實數m，使△AOB的面積為m的直線l僅有三條；
④存在正實數m，使△AOB的面積為m的直線l僅有四條．
其中所有真命題的序號是（　　）

A．①②③

B．③④

C．②④

D．②③④

Answer 1

∵直線y=k（x-2）+3與x軸，y軸交點的坐標分別是，A（2-

3

k

，0），B（0，3-2k）．
S_△=

1

2

×|2-

3

k

|×|3-2k|=

1

2

×

(2k-3)2

|k|

．
當k＞0時，S_△=

1

2

×

4k2-12k+9

k

=

1

2

×（4k+

9

k

-12），
∵4k+

9

k

≥2

4×9

=12，當且僅當k=

3

2

時取等號．
∴當S_△=m＞0時，在k＞0時，k有兩值；
當k＜0時，S_△=

1

2

×

(2k-3)2

|k|

=

1

2

×

4k2-12k+9

-k

=

1

2

×[（-4k+

9

-k

）+12]，
∵-4k+

9

-k

≥2

4×9

=12．當且僅當k=-

3

2

時取等號．
當m＞12時，在k＜0時，k有兩值．；
∴當 m=0時，僅有一條直線使△AOB的面積為m，∴①不正確；
當0＜m＜12時，僅有兩條直線使△AOB的面積為m，∴②正確；
當m=12時，僅有三條直線使△AOB的面積為m，∴③正確；
當m＞12時，僅有四條直線使△AOB的面積為m，∴④正確．
故選D