Question

P，Q 是平面α 內兩個定點，點M 為平面α 內的動點，且

|MP|

|MQ|

=λ （λ＞0，且λ≠1），點M 的軌跡所圍成的平面區域的面積為S，設S=f（λ） （λ＞0，且λ≠1），則以下判斷正確的是（　　）

• A、f（λ）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上也是增函數
• B、f（λ）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上也是減函數
• C、f（λ）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數
• D、f（λ）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數

Answer 1

分析：設：M（x，y），為方便設P（-a，0），Q（a，0）根據|MP|=λ|MQ|建立等式關系，求出軌跡方程，然后點M的軌跡所圍成的平面區域的面積為S=f（λ），研究其單調性即可．

解答：解：設：M（x，y），為方便設P（-a，0），Q（a，0）
則：|MP|=λ|MQ|⇒|MP|²=λ²[|MQ|²]⇒（x+a）²+y²=λ²[（x-a）²+y²]⇒
（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+2a（1+λ²）x=a²（λ²-1）⇒
x²+y²-2a•

1+λ2

λ2-1

x=-a²⇒其軌跡是個圓．圓的半徑是R，則：R²=（2a•

1+λ2

λ2-1

）²-a²
⇒題目中f（x）的單調性就是這個的單調性
設：g（λ）=（2•

1+λ2

λ2-1

）²=4（1+

2

λ2-1

）²
故選D．

點評：本題主要考查了函數單調性的判斷與證明，解題的關鍵是求軌跡方程，屬于中檔題．