Question

設(shè)的定義域為,的導函數(shù)為,且對任意正數(shù)均有，

(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

(2)設(shè)，比較與的大小，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)，若，比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

(Ⅰ) 在上是增函數(shù).

(Ⅱ) .

（Ⅲ）

解析:

(Ⅰ)由于得，，而，則，

則，因此在上是增函數(shù).

(Ⅱ)由于，，則，而在上是增函數(shù)，

則，即，∴（1），

同理 （2）

（1）+（2）得：，而，

因此 .

（Ⅲ）證法1: 由于，，則，而在上是增函數(shù)，則，即，

∴

同理

以上個不等式相加得：

而

證法2：數(shù)學歸納法

（1）當時，由（Ⅱ）知，不等式成立；

（2）當時，不等式成立，

即成立，

則當時， +

再由(Ⅱ)的結(jié)論, +

+

因此不等式對任意的自然數(shù)均成立.