Question

正三棱錐P-ABC中，CM=2PM，CN=2NB，對于以下結論：
①二面角B-PA-C大小的取值范圍是（

π

3

，π）；
②若MN⊥AM，則PC與平面PAB所成角的大小為

π

2

；
③過點M與異面直線PA和BC都成

π

4

的直線有3條；
④若二面角B-PA-C大小為

2π

3

，則過點N與平面PAC和平面PAB都成

π

6

的直線有3條．       
正確的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①利用二面角的大小區判斷．②利用線面角的定義去判斷．③利用異面直線的概念去判斷．④利用二面角的大小進行判斷．

解答：解：①設底面正三角形的邊長為1，過B作BD⊥PA，連結CD，則∠BDC是二面角B-PA-C大小，因為底面三角形ABC是正三角形，所以∠CAB=

π

3

，所以當點P無限靠近點O時，即高無限小時，∠BDC接近

π

3

，所以二面角B-PA-C大小的取值范圍是（

π

3

，π），所以①正確．
②因為CM=2PM，CN=2NB，所以MN∥PB．若MN⊥AM，則PB⊥AM，因為P-ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PB⊥AC，因為AM∩AC=A，所以PB⊥面PAC，因為P-ABC是正三棱錐，所以必有PC⊥面PAB，所以PC與平面PAB所成角的大小為

π

2

，所以②正確．
③因為因為P-ABC是正三棱錐，所以P在底面的射影是底面的中心，所以PA⊥BC．所以過點M與異面直線PA和BC都成

π

4

的直線有兩條，所以③錯誤．
④若二面角B-PA-C大小為

2π

3

，則∠BDC=

2π

3

，此時∠EDC=

π

3

，（其中E是BC的中點），∠DBC=

π

6

，所以此時直線BC與平面PAC和平面PAB都成

π

6

，又因為平面PAC和平面PAB的法向量的夾角為

π

3

，此時適當調整過N的直線，可以得到兩條直線使得過點N與平面PAC和平面PAB都成

π

6

，所以滿足過點N與平面PAC和平面PAB都成

π

6

的直線有3條． 所以④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題綜合考查了正三棱錐的性質以及利用正三棱錐研究線面角和二面角的大小，綜合性強，難度大．