Question

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點M，圓O：x²+y²=1 與x軸交于A，B兩點．
（1）求以l為準線，中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（2）過M點作直線l₁與圓相切于點N，設(shè)（2）中橢圓的兩個焦點分別為F₁F₂，求三角形△NF₁F₂面積．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)出焦點在x軸上的橢圓的標準方程，根據(jù)橢圓經(jīng)過y軸上的點（0，1），分長半軸等于1和短半軸等于1兩種情況求解橢圓的標準方程；
（2）由平面幾何知識求出點N的坐標，求出兩個橢圓的焦點坐標，直接利用三角形的面積公式求三角形△NF₁F₂面積．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，則

a2

c

=2
∵橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，根據(jù)橢圓與圓的對稱性，
則a=1或b=1
當a=1時，c=

1

2

，b²=a²-c²=

3

4

，
∴所求橢圓方程為x2+

4y2

3

=1；   
當b=1時，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)切點為N，則由題意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，
N點的坐標為(-

1

2

，

3

2

)，
若橢圓為

x2

2

+y2=1，其焦點F₁，F(xiàn)₂分別為A（-1，0），B（1，0），
故S△NF1F2=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

，
若橢圓為x2+

4y2

3

=1，其焦點為F1(-

1

2

，0)，F2(

1

2

，0)，
此時S△NF1F2=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線的綜合，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．