Question

某地區氣候條件惡劣，且位于沙漠邊緣地帶，到2011年底該地區的綠化率只有30%，計劃從2012年開始加大沙漠化改造的力度，每年將原來沙漠面積的16%改造為綠洲，但同時原有綠洲面積的4%還會被沙漠化．
（1）設該地區的總面積為a，2011年底的綠洲面積為a1=

3

10

a，經過一年治理后綠洲面積為a₂，…，經過n年后綠洲面積為a_n+1，求證：an+1=

4

5

an+

4

25

；
（2）問至少需要經過多少的努力，才能使該地區的綠洲面積超過60%？（參考數據：lg2=0.3）

Answer 1

（1）證明：設2011年底沙漠面積為b₁，經過n年沙漠面積為b_n+1，則a₁+b₁=a，
依題意，a_n+1由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化后剩下的面積為96%a_n，另一部分是新綠洲化的面積16%b_n，
∴a_n+1=96%a_n+16%b_n=

4

5

a_n+

4

25

a；
（2）由（1）可知a_n+1-

4

5

a=

4

5

（a_n-

4

5

a）
∴{a_n-

4

5

a}是以-

1

2

a為首項，

4

5

為公比的等比數列
∴a_n+1=

4

5

a-

1

2

a×(

4

5

)n
依題意：

4

5

a-

1

2

a×(

4

5

)n＞60%a
∴(

4

5

)n＜

2

5

∴n＞

lg 2 5

lg 4 5

=

1-2lg2

1-3lg2

=4
∴至少需要5年才能達到目標．