Question

 

已知橢圓C：的焦點在y軸上，且離心率為．過點(0，3)的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．

    （1）求橢圓C的方程；

（2）若以AB為直徑的圓恰好經過橢圓C的右頂點M，求此時l的方程．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由題知a²=m，b²=1，∴ c²=m-1．

∴ ，解得m=4．

∴ 橢圓的方程為．  …………………………………………………4分

（2）由（1）知M(1，0)，且據題知=0．

當l的斜率不存在時，A(0，2)，B(0，-2)，

∴ =(-1，2)，=(-1，-2)，

∴ =(-1)×(-1)+2×(-2)=-3≠0，不符合條件．……………………6分

當l的斜率存在時，設l的斜率為k，則l的方程為y=kx+3．

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，于是=(x₁-1，y₁)，=(x₂-1，y₂)．

聯立l和橢圓的方程：  消去y，整理得(4+k²)x²+6kx+5=0，

∴ Δ=(6k)²-4×(4+k²)×5=16k²-80>0，解得k²>5．

且，

∴ y₁y₂=(kx₁+3)(kx₂+3)=k²x₁x₂+3k(x₁+x₂)+9=． …………………10分

∵ =x₁x₂-(x₁+x₂)+1+y₁y₂

                 =++1+

                 =，

∴ =0，解得k=-3，或k=5（均滿足條件）．

∴  l的方程為y=-3x+3，或y=5x+3．………………………………………12分