Question

已知函數f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）討論函數的單調性；（2）若，設，
（ⅰ）求證g（x）為單調遞增函數；
（ⅱ）求證對任意x，x，xx，有．

Answer 1

(1)當a=2時，f（x）在（0，+∞）單調遞增；
當1＜a＜2時，f（x）在（a-1，1）單調遞減，在（0，a-1），（1，+∞）單調遞增；
當a＞2時，f（x）在（1，a-1）單調遞減，在（0，1），（a-1，+∞）單調遞增.
(2)見解析.

試題分析：(1)先求出函數的導函數，然后求出時的駐點，再由的大小關系討論導函數的正負，從而確定函數的單調性；(2)（ⅰ）由得出；求出 ，由的范圍得從而得出出，函數單調遞增；（ⅱ）由單調遞增定義可推導.
試題解析：（1）∵函數f（x）=x²-ax+（a-1）lnx，其中a＞1，
∴f（x）的定義域為（0，+∞），
令解得：.
①若a-1=1，即a=2時,
故f（x）在（0，+∞）單調遞增．
②若0＜a-1＜1，即1＜a＜2時，
由f′（x）＜0得，a-1＜x＜1；
由f′（x）＞0得，0＜x＜a-1，或x＞1．
故f（x）在（a-1，1）單調遞減，在（0，a-1），（1，+∞）單調遞增．
③若a-1＞1，即a＞2時，
由f′（x）＜0得，1＜x＜a-1；由f′（x）＞0得，0＜x＜1，或x＞a-1．
故f（x）在（1，a-1）單調遞減，在（0，1），（a-1，+∞）單調遞增．
綜上可得，當a=2時，f（x）在（0，+∞）單調遞增；
當1＜a＜2時，f（x）在（a-1，1）單調遞減，在（0，a-1），（1，+∞）單調遞增；
當a＞2時，f（x）在（1，a-1）單調遞減，在（0，1），（a-1，+∞）單調遞增.
(2) （ⅰ）
則      .10分
由于1<a<5,故，即g(x)在(0, +∞) 上單調遞增.                .11分
（ⅱ）由（ⅰ）知當時有，即，
故，當時，有 14分