Question

已知圓C經過（-2，0），（2，0）兩點，且圓心在直線y=x．
（1）求圓C的方程；
（2）過（-1，1）的直線l與圓C交于不同兩點A，B，且滿足（O為坐標原點）的點M也在圓C上，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 可設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，把（-2，0），（2，0）兩點代入圓的方程，結合圓心在直線y=x可求a，b，r
（Ⅱ）若直線l斜率存在，設直線l的方程為：y-1=k（x+1），聯立方程，根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y₁y₂=[k（x₁+1）+1][k（x₂+1）+1]，代入  可求M，再由點M在圓C上，代入可求k；若直線l斜率不存在，可求直線方程，從而可求
解答：解：（Ⅰ） 設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
由題有，解得：a=b=0，r=2
∴圓C的方程是 x²+y²=4
（Ⅱ）若直線l斜率存在，設直線l的方程為：y-1=k（x+1）
可得，（1+k²）x²+2k（k+1）x+k²+2k-3=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
則，
∴y₁y₂=[k（x₁+1）+1][k（x₂+1）+1]
=
=
由  
有 
∵點M在圓C上，
∴
又 代入上式化簡得：x₁x₂+y₁y₂=0
∴
解得k=1
∴直線l的方程是 x-y+2=0
若直線l斜率不存在，則
但M不在圓C上，不合題意．
綜上知，直線l的方程是 x-y+2=0
點評：本題主要考查了利用待定系數法求解圓的方程，直線與圓的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于綜合性試題