Question

若定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上的圖象如圖所示，則不等式f（x）f′（x）＞0的解集是（ ）
A．（-∞，-1）∪（0，1）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是函數奇偶性及單調性，由f（x）為偶函數，我們可以根據偶函數的性質--偶函數的圖象關于Y軸對稱，判斷出函數圖象在Y軸左側的情況，然后結合導數的意義，不難求出等式f（x）f′（x）＞0的解集．
解答：解：由圖可知：
f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，
則在區間（0，+∞）上f'（x）＞0．
又由f（x）為偶函數．
則f（x）在區間（-∞，0）上單調遞減，
則在區間（-∞，0）上f'（x）＜0．
由f（-1）=f（1）=0可得
在區間（-∞，-1）上f'（x）＜0，f（x）＞0．
在區間（-1，0）上f'（x）＜0，f（x）＜0．
在區間（0，1）上f'（x）＞0，f（x）＜0．
在區間（1，+∞）上f'（x）＞0，f（x）＞0．
故不等式f（x）f′（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故選B
點評：利用導數研究函數的單調性比用函數單調性的定義要方便，f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個區間上為增函數（或減函數），反之，f（x）在某個區間上為增函數（或減函數），則f′（x）＞0（或f′（x）＜0）．