Question

函數f（x）對任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）是R上的增函數；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m²-m-2）＜3．

Answer 1

分析：（1）先任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0．由當x＞0時，f（x）＞1．得到f（x₂-x₁）＞1，再對f（x₂）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1變形得到結論．
（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1求得f（2）=3，再將f（3m²-m-2）＜3轉化為f（3m²-m-2）＜f（2），由（1）中的結論，利用單調性求解．

解答：解：（1）證明：任取x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
∴f（x₂-x₁）＞1．
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]
=f（x₁）+f（x₂-x₁）-1＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m²-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的結論知，f（x）是R上的增函數，
∴3m²-m-2＜2，
3m²-m-4＜0，
∴-1＜m＜

4

3

．

點評：本題主要考查抽象函數的單調性證明和利用單調性定義解抽象不等式，屬于中檔題．