Question

在△ABC中，已知（a+c）（sinA-sinC）-（a-b）sinB=0，其中A、B、C分別為△ABC的內角A、B、C所對的邊．求：
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求滿足不等式sinA+sinB≥

3

2

的角A的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理將已知等式化簡，可得ab=a²+b²-c²，從而算出cosC=

1

2

，結合C為三角形的內角，即可得到角C的大小；
（II）根據sinB=sin（A+C），利用三角恒等變換公式化簡不等式sinA+sinB≥

3

2

，可得sin（A+

π

6

）≥

3

2

．再結合正弦函數的圖象與性質，即可算出滿足條件的角A的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由（a+c）（sinA-sinC）-（a-b）sinB=0，
∴根據正弦定理，得（a+c）（a-c）=（a-b）b，即ab=a²+b²-c²        …（4分）
∴cosC=

a 2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
由0＜C＜π，可得C=

π

3

  …（6分）
（Ⅱ）∵sinA+sinB≥

3

2

即sinA+sin（A+C）≥

3

2

，…（7分）
即sinA+

1

2

sinA+

3

2

cosA≥

3

2

，可得

3

（sinAcos

π

6

+cosAsin

π

6

）≥

3

2

，
∴

3

sin（A+

π

6

）≥

3

2

，即sin（A+

π

6

）≥

3

2

，…（9分）
∴

π

3

≤A+

π

6

≤

2π

3

，可得

π

3

≤A≤

π

2

．…（12分）

點評：本題給出三角形的邊角關系式，求角C的大小并依此求滿足不等式的A的范圍，著重考查了正余弦定理、誘導公式和三角恒等變換等知識，屬于中檔題．