Question

已知兩定點F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），滿足條件|

PF2

|-|

PF1

|=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A，B兩點．如果|AB|=6

3

，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：由雙曲線的定義易判斷點P軌跡E是以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）為焦點的雙曲線的左支，從而可求得E的方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立直線與雙曲線方程得方程組，消y得（1-k²）x²+2kx-2=0．由直線交雙曲線左支于兩點得關于k的限制條件，再由弦長公式可得關于k的方程，解出k，注意檢驗是否滿足以上條件．

解答：解：由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）為焦點的雙曲線的左支，
且c=

2

，a=1，∴b=1，
故曲線E的方程為x²-y²=1（x＜0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

，消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
∵已知直線與雙曲線左支交于兩點A、B，∴

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

，解得-

2

＜k＜-1．
又∵|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -2k 1-k2 )2-4× -2 1-k2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

，
依題意得2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

=6

3

，整理后得28k⁴-55k²+25=0，
解得k²=

5

7

或k2=

5

4

，但-

2

＜k＜-1，∴k=-

5

2

，
故直線AB的方程為

5

2

x+y+1=0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及直線方程，考查二次方程根的分布問題，弦長公式、韋達定理是解決該類問題的基礎知識，要熟練掌握．