Question

20．寫出函數f（x）=$\sqrt{5+x}+\sqrt{5-x}$-4的定義域，判斷并證明其奇偶性和單調性，并求出其所有零點和值域．

Answer 1

分析 根據函數成立的條件，求出函數的定義域，結合函數奇偶性的定義以及求出函數的導數，研究函數的單調性，從而可以求出函數的值域．

解答 解：要使函數有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{5+x≥0}\\{5-x≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥-5}\\{x≤5}\end{array}\right.$，
即-5≤x≤5，函數的定義域為[-5，5]，
f（-x）=$\sqrt{5-x}$+$\sqrt{5+x}$-4=f（x），
則函數f（x）是偶函數，
函數的導數f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{5+x}}$-$\frac{1}{2\sqrt{5-x}}$=$\frac{\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}}{2\sqrt{25-{x}^{2}}}$，
由f′（x）＞0得$\sqrt{5-x}$-$\sqrt{5+x}$＞0，得$\sqrt{5-x}$＞$\sqrt{5+x}$，即5-x＞5+x，得-5≤x＜0，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得$\sqrt{5-x}$-$\sqrt{5+x}$＜0，得$\sqrt{5-x}$＜$\sqrt{5+x}$，即5-x＜5+x，得0＜x≤5，此時函數單調遞減，
即函數的單調遞增區間為[-5，0]，單調遞減區間為[0，5]，
即當x=0時，函數取得最大值f（0）=2$\sqrt{5}-4$，
∵f（5）=$\sqrt{10}$-4，f（-5）=$\sqrt{10}$-4，∴函數的最小值為$\sqrt{10}$-4，
則函數的值域為[$\sqrt{10}$-4，2$\sqrt{5}-4$]．
∵f（4）=$\sqrt{9}$+1-4=3+1-4=0，f（-4）=$\sqrt{9}$+1-4=3+1-4=0，
∴函數f（x）的零點為-4，4．

點評 本題主要考查函數性質的考查，根據函數定義域，值域，單調性奇偶性的定義是解決本題的關鍵．