Question

已知函數f（x）=x²-2x，g（x）=ax-2a（a∈R）
（1）求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）若對于任意x＞2均有f（x）＞g（x）-4成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）＞g（x），代入解析式化簡變形，討論兩個大小，從而得到不等式的解集；
（2）解決含參不等式恒成立問題，常常利用參變量分離，利用基本不等式求函數的最小值，從而求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）＞g（x）
∴x²-2x＞ax-2a，整理得x²-（2+a）x+2a＞0
即（x-2）（x-a）＞0
當a＞2時，解集為（-∞，2）∪（a，+∞）
當a=2時，解集為（-∞，2）∪（2，+∞）
當a＜2時，解集為（-∞，a）∪（2，+∞）
（2）由f（x）＞g（x）-4得x²-2x+4＞a（x-2），
∵x＞2
∴x-2＞0，a＜

x2-2x+4

x-2

=x-2+

4

x-2

+2
令h（x）=x-2+

4

x-2

≥4，當且僅當x=4時取等號
∴h（x）的最小值為4，
∴a＜6

點評：本題主要考查了一元二次不等式的解法，函數最值的應用，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．