Question

11、a、b、c為△ABC三邊，x∈R，求證：a²x²+（b²-a²-c²）x+c²=0根的情況．
（提示：△=…=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c（a-b-c）＜0）

Answer 1

分析：首先分析題目要證明方程根的情況的問題，考慮到應用判別式法，又a、b、c為△ABC三邊，根據三角形兩邊之和大于第三邊，可以判定出判別式小于0，即無實數根．

解答：解：已知a、b、c為△ABC三邊，x∈R，和方程a²x²+（b²-a²-c²）x+c²=0
根據根的判別式可知：△=（b²-a²-c²）²-4a²c²
=（b²-a²-c²+2ac）（b²-a²-c²-2ac）
=（b-a+c）（b+a-c）（b-a-c）（b+a+c）
又因為a b c 是三角形△ABC的三邊故：b-a+c＞0，b+9a-c＞0，b-a-c＜0，b+a+c＞0
所以△=（b-a+c）（b+a-c）（b-a-c）（b+a+c）＜0
故方程a²x²+（b²-a²-c²）x+c²=0沒有實數根．

點評：此題主要考查一元二次方程根的情況的問題，其中涉及到判別式法求根的存在性和三角形中兩邊之和大于第三邊的問題．計算量小屬于基礎題目．同學們需要掌握．