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直棱柱中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，．

(Ⅰ) 求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

（Ⅱ）若P為A₁B₁的中點，求證：DP∥平面BCB₁，且DP∥平面ACB₁．

證明：（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．……2分

又∠BAD＝∠ADC＝90°，，

∴，∠CAB＝45°，∴， BC⊥AC． ………… 5分[

又，平面BB1C1C， AC⊥平面BB1C1C．………… 7分

（Ⅱ）證明：由P為A1B1的中點，有PB1‖AB，且PB1＝AB．…………2分

又∵DC‖AB，DC＝AB,DC ∥PB1,且DC＝ PB1,…4分

∴DC B1P為平行四邊形，從而CB1∥DP．

又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1…6分

同理，DP‖面BCB1． …………7分

(注：第(Ⅰ)問7分，第（Ⅱ）問7分)

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
（1）求

的模；
（2）求異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值；
（3）求證：A₁B⊥C₁M．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（08年濰坊市六模）（12分）如圖，直三棱柱中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，

AC＝2a，＝3a，D為的中點，E為的中點．

　　（1）求直線BE與所成的角；

　　（2）在線段上是否存在點F，使CF⊥平面，若存在，求出；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
（1）求 $數學公式$ 的模；
（2）求異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值；
（3）求證：A₁B⊥C₁M．

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如圖，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
（1）求

的模；
（2）求異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值；
（3）求證：A₁B⊥C₁M．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省高三第五次階段考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，為棱上一點，且平面平面.

（Ⅰ）求證：點為棱的中點；

（Ⅱ）判斷四棱錐和的體積是否相等，并證明。

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問題的運用。第一問中，

易知，面。由此知：從而有又點是的中點，所以，所以點為棱的中點.

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D為BB₁中點，可以得證。

（1）過點作于點，取的中點，連。面面且相交于，面內的直線，面。……3分

又面面且相交于，且為等腰三角形，易知，面。由此知：，從而有共面，又易知面，故有從而有又點是的中點，所以，所以點為棱的中點. …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D為BB₁中點，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

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如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．（1）求的模；（2）求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；（3）求證：A1B⊥C1M．

如圖，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點．
（1）求 $數學公式$ 的模；
（2）求異面直線BA₁與CB₁所成角的余弦值；
（3）求證：A₁B⊥C₁M．