Question

【題目】如圖所示，拋物線C：x2=2py（p＞0），其焦點為F，C上的一點M（4，m）滿足|MF|=4．

（1）求拋物線C的標準方程；

（2）過點E（﹣1，0）作不經過原點的兩條直線EA，EB分別與拋物線C和圓F：x2+（y﹣2）2=4相切于點A，B，試判斷直線AB是否經過焦點F．

Answer 1

【答案】（1）x2=8y（2）直線AB的方程為，經過焦點F（0，2）

【解析】試題分析：（1）由點M（4，m）在拋物線上得16=2pm，根據拋物線的定義得|MF|=m+=4，建立關于p的方程求得p即可得到所求方程；（2）設出直線EA，EB的方程，根據相切利用代數方法求得切點A，B的坐標，然后求得直線AB的方程后驗證即可。

試題解析：

（1）由條件得拋物線C的準線方程為，

∴|MF|=m+=4，

∵點M（4，m）在拋物線上，

∴16=2pm，

∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，

∴拋物線C的標準方程為x2=8y。

（2）設直線EA的方程為，

由，消去x整理得得2y2﹣（2+8）y+1=0，

∵直線EA與拋物線C相切，

∴△=（2+8）2﹣42=0，解得=﹣2，

∴y2﹣4y+1=0

解得

∴，

故點A的坐標為，

設直線EB的方程為x=ty﹣1，

由，消去x整理得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，

∵直線EB與圓F相切，

∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，解得，

∴25y2﹣40y+16=0

解得y，

，

故點B的坐標為，

∴直線AB的斜率，

可得直線AB的方程為，該直線經過拋物線的焦點F（0，2）。