Question

已知，（），直線與函數、的圖像都相切，且與函數的圖像的切點的橫坐標為1．

（Ⅰ）求直線的方程及的值；

（Ⅱ）若（其中是的導函數），求函數的最大值；

（Ⅲ）當時，求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數在點處的切線，故其斜率

，

       所以直線的方程為．

       又因為直線與的圖像相切，所以由

              ，

       得（不合題意，舍去）；

   （Ⅱ）因為（），所以

              ．

       當時，；當時，．

       因此，在上單調遞增，在上單調遞減．

因此，當時，取得最大值；

   （Ⅲ）當時，．由（Ⅱ）知：當時，，

       即．因此，有

              ．