Question

已知△ABC的三個內角分別為A、B、C，所對的邊分別為a、b、c，向量

m

=(sinB，1-cosB)與向量

n

=(2，0)的夾角為

π

3

；
（1）求角B的大小．
（2）求

a+c

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將

m

，

n

化簡，再利用向量的數量積公式求出

m

 •

n

，利用向量模的公式求出兩個向量的模，求出角B．
（2）利用三角形的內角和為π，求出A+C的值，求出sinA+sinC的范圍，利用三角形的正弦定理將

a+c

b

用

sinA+sinC

sinB

表示，求出

a+c

b

的范圍．

解答：解（1）

m

=2sin

B

2

(cos

B

2

，sin

B

2

)；

n

=2(1，0)
∴

m

•

n

=4sin

B

2

•cos

B

2

   |

m

|=2sin

B

2

||

n

|=2
cos＜

m

•

n

＞=cos

π

3

=

m • n

| m |•| n |

=cos

B

2

∴

B

2

=

π

3

⇒B=

2

3

π
（2）B=

2

3

π
∴A+C=

π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)

=sinA+sin π 3 •cosA-cos π 3 •sinA = 1 2 sinA+ 3 2 cosA=sin(A+ π 3 )

又0＜A＜

π

3

∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2

3

π
∴

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1
∴

a+b

c

=

sinA+sinC

sinB

的取值范圍是(1，

2 3

3

]

點評：求向量的夾角問題常利用向量的數量積公式；解決三角形邊、角關系的問題一般利用的工具是正弦定理、余弦定理、三角形的內角和．