Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）化簡f（x）的解析式，并畫出圖象，找出與y=4的交點，從而得到不等式f（x）≤4的解集．
（Ⅱ）由f（x）的圖象知，x=-時，f（x）有最小值-，由題意知，實數a大于或等于f（x）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=|2x+1|-|x-3|=，如圖，它與 y=4的交點為（-8，4）和（2，4）．
故不等式f（x）≤4的解集為[-8，2]．
（Ⅱ）由f（x）的圖象知，x=-時，f（x）有最小值-，存在x使得f（x）+a≤0成立，
等價于-a≥-，a≤．故實數a的取值范圍為（-∞，）．


點評：本題考查絕對值不等式的解法，體現了數形結合的數學思想，畫出函數圖象是解題的關鍵．