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函數f(x)是定義在R上的偶函數,且對任意實數x,都有f(x+1)=f(x-1)成立,已知當x∈[1,2]時,f(x)=logax.
(1)求x∈[-1,1]時,函數f(x)的表達式.
(2)求x∈[2k-1,2k+1](k∈Z)時,函數f(x)的表達式.
(3)若函數f(x)的最大值為
1
2
,在區(qū)間[-1,3]上,解關于x的不等式f(x)>
1
4
分析:(1)由已知中f(x+1)=f(x-1),故可能函數是以2為周期的周期函數,又由函數f(x)是定義在R上的偶函數,結合當x∈[1,2]時,f(x)=logax,我們易得,x∈[-1,1]時,函數f(x)的表達式;
(2)由函數的周期性,我們易得函數的解析式;
(3)由于f(x)=logax的底數不確定,故我們要對底數進行分類討論,進而求出滿足條件的a值,易將不等式轉化為一個對數不等式,根據對數函數的單調性,我們易求出滿足條件的不等式的解集.
解答:解:(1)∵f(x+1)=f(x-1),且f(x)是R上的偶函數
∴f(x+2)=f(x)
∴f(x)=
loga(2+x),x∈[-1,0]
loga(2-x),x∈(0,1]

(2)當x∈[2k-1,2k]時,f(x)=f(x-2k)=loga(2+x-2k),
同理,當x∈(2k,2k+1]時,f(x)=f(x-2k)=loga(2-x+2k),
∴f(x)=
loga(2+x-2k),x∈[2k-1,2k]
loga(2-x+2k),x∈(2k,2k+1]

(3)由于函數是以2為周期的周期函數,故只需要考查區(qū)間[-1,1]
當a>1時,由函數f(x)的最大值為
1
2
,知f(0)=f(x)max=loga2=
1
2
,即a=4
當0<a<1時,則當x=±1時,函數f(x)取最大值為
1
2
即loga(2-1)=
1
2
,舍去
綜上所述a=4
當x∈[-1,1]時,若x∈[-1,0],則log4(2+x)>
1
4

2
-2<x≤0
若x∈(0,1],則log4(2-x)>
1
4

∴0<x<2-
2

∴此時滿足不等式的解集為(
2
-2,2-
2

∵函數是以2為周期的周期函數,
∴在區(qū)間[-1,3]上,f(x)>
1
4
的解集為(
2
,4-
2

綜上所得不等式的解集為(
2
-2,2-
2
)∪(
2
,4-
2
點評:本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合應用,函數的周期性,其中當對數函數的底數不確定時,對a進行分類討論是對數函數常用的處理的方法.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,其最小正周期為3,且x∈(-
3
2
,0)時
,f(x)=log2(-3x+1),則f(2011)=( 。
A、-2
B、2
C、4
D、log27

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是定義在N*的函數,且滿足f(f(k))=3k,f(1)=2,設an=f(3n-1),b1=1,bn-log3f(an)=b1-log3f(a1).
(I)求bn的表達式;
(II)求證:
b1
f(a1)
+
b2
f(a2) 
+…+
bn
f(an)
3
4

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科目:高中數學 來源: 題型:

奇函數f(x)是定義在[-1,1]上的增函數,且f(x-1)+f(1-2x)<0,則實數x的取值范圍為
(0,1]
(0,1]

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•臨沂二模)已知函數f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數,當x∈[-e,0)時,f(x)=ax-ln(-x),(a<0,a∈R)
(I)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)是否存在實數a,使得當x∈(0,e]時f(x)的最大值是-3,如果存在,求出實數a的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

注:此題選A題考生做①②小題,選B題考生做①③小題.
已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,且當x≥0時有f(x)=
4xx+4

①求f(x)的解析式;
②(選A題考生做)求f(x)的值域;
③(選B題考生做)若f(2m+1)+f(m2-2m-4)>0,求m的取值范圍.

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