Question

【題目】已知函數f（x）=2x

（1）試求函數F（x）=f（x）+f（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；

（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，試求a的取值范圍；

（3）當a＞0，且x∈[0，15]時，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2 ； （2）a＜0，或a＞2； .（3）a≥1.

【解析】

（1）把f（x）代入到F（x）中化簡得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；

（2）可設2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，討論求出解集，讓a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范圍；

（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即為恒成立即要，根據二次函數求最值的方法求出最值即可列出關于a的不等式，求出解集即可．

（1）∵x∈（﹣∞，0]，F（x）=f（x）+f（2x）=2x+4x，令2x=t，（0＜t≤1），

即有F（x）=t2+t= 在 單調遞增, 時

（2）令2x=t，則存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1

所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1，或t2﹣at＜﹣1．

即存在t∈（0，1）使得，∴a＜0，或a＞2；

（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立

因為a＞0，且x∈[0，15]，所以問題即為恒成立，∴．

設m（x）=令，∴．

所以，當t=1時，m（x）max=1，∴a≥1．