Question

【題目】設函數f（x）=﹣x3+3x+2分別在x1、x2處取得極小值、極大值．xOy平面上點A、B的坐標分別為（x1 ， f（x1））、（x2 ， f（x2）），該平面上動點P滿足 =4．求：
（1）求點A、B的坐標；
（2）求動點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=﹣x3+3x+2，求導f'（x）=﹣3x2+3，

令f'（x）=0，

解得：x=1或x=﹣1，

當x＜﹣1時，f'（x）＜0，

當﹣1＜x＜1時，f'（x）＞0，

當x＞1時，f'（x）＜0，

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

所以，函數在x=﹣1處取得極小值，在x=1取得極大值，

故x1=﹣1，x2=1，f（﹣1）=0，f（1）=4，

所以點A、B的坐標為A（﹣1，0），B（1，4）

（2）解：設P（x，y）， ，

整理得：x2+（y﹣2）2=9，

∴動點P的軌跡方程：x2+（y﹣2）2=9

【解析】（1）由題意可知：函數f（x）=﹣x3+3x+2，求導f'（x）=﹣3x2+3，f'（x）=0，解得：x=1或x=﹣1，當f'（x）＜0，解得：x＜﹣1或x＞1，當f'（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，因此函數在x=﹣1處取得極小值，在x=1取得極大值，代入即可求得點A、B的坐標；（2） ，整理即可求得動點P的軌跡方程．
【考點精析】通過靈活運用函數的極值與導數，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．