Question

某校數學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第k棵樹種植在點P_k(x_k,y_k)處，其中x₁=1,y₁=1,當k≥2時，　　　　

       

T（a）表示非負實數a的整數部分，例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.

按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為　　　；第2008棵樹種植點的坐標應為　　。

Answer 1

（1，2）   （3，402）. 解析: (1)當k≥2時,由條件可得,

則有

上式累加可得x₆=x₁=1.上式累加,可得y₆=y₁+1=2.

∴第6棵樹種植點的坐標為(1,2).

(2)由上述(1)可發現:

x₇-x₆=1-5(1-1)=1,x₈-x₇=1-5(1-1)=1,

x₉-x₈=1-5(1-1)=1,

∵1-1=0,

x₁₁-x₁₀=1-5(2-1)=-4,…

由此可見x_k-x_k-1的值是1,1,1,1,-4呈周期規律出現,其中周期為5.

同樣地,y_k-y_k-1為0,0,0,0,1也呈周期規律出現,其周期也為5.

當k=2 008時,

那么累加可得x_{2 008}-x₁=(T［］)·(1+1+1+1-4)+1+1=2.

y_{2 008}-y₁=(T［］)·(0+0+0+0+1)=401.

∴(x_{2 008},y_{2 008})=(3,402).