Question

求過直線x+2y=0與圓x²+y²-2x=0的交點A、B，且面積最小的圓的方程．

Answer 1

分析：將直線與圓方程聯立組成方程組，求出方程組的解得到兩交點A與B的坐標，當圓面積最小時，弦AB為直徑，利用兩點間的距離公式求出|AB|的長，即為圓的直徑，確定出圓的半徑，利用線段中點坐標公式求出線段AB的中點坐標，即為圓心坐標，由圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可．

解答：解：聯立方程組

x+2y=0① x2+y2-2x=0②

，
由①得：x=-2y代入②得：5y²+4y=0，
解得：y₁=0，y₂=-

4

5

，
則

x1=0 y1=0

或

x2= 8 5 y2=- 4 5

，
當弦AB為直徑時，圓面積最小，
則所求圓的直徑為2R=|AB|=

(0- 8 5 )2+(0+ 4 5 )2

=

4 5

5

，
圓心為AB中點C（

4

5

，-

2

5

），
則所求面積最小的圓的方程是（x-

4

5

）²+（y+

2

5

）²=

4

5

．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：直線與圓的交點坐標，兩點間的距離公式，線段中點坐標公式，以及圓的標準方程，熟練掌握公式是解本題的關鍵．