Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=，E是BD的中點．
（Ⅰ）求證：EC∥平面APD；
（Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取PA中點F，連接EF、FD，可得EF∥AB且，證明四邊形EFDC是平行四邊形，再利用直線與平面平行的
判定定理進行證明；
（Ⅱ）取AD中點H，連接PH，因為PA=PD，所以PH⊥AD，可得HB是PB在平面ABCD內的射影，∠PBH是PB與平面ABCD所成角，從而求解．
（Ⅲ）在平面ABCD內過點H作AB的垂線交AB于G點，連接PG，則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，可得∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，構造直角三角形，求出∠PGH的正切值，即可求解．
解答：解：證明（Ⅰ）如圖，取PA中點F，連接EF、FD，
∵E是BP的中點，
∵EF∥AB且，
又∵
∴EFDC
∴四邊形EFDC是平行四邊形，故得EC∥FD（2分）
又∵EC?平面PAD，FD?平面PAD
∴EC∥平面ADE（4分）

（Ⅱ）取AD中點H，連接PH，因為PA=PD，所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD
∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD內的射影
∴∠PBH是PB與平面ABCD所成角（6分）
∵四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°
∴四邊形ABCD是直角梯形
設AB=2a，則，
在△ABD中，易得∠DBA=45°，
∴，
又∵BD²+AD²=4a²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°
∴
∴在Rt△PHB中，（10分）
（Ⅲ）在平面ABCD內過點H作AB的垂線交AB于G點，連接PG，
則HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，
所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a（11分）
，又∠HAB=45°∴
在Rt△PHG中，（13分）
∴二面角P-AB-D的大小為（14分）


解法二：（Ⅰ）同解法一（4分）
（Ⅱ）設AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得∠ADB=90°
如圖，以D點為原點，DA所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，
過D點且垂直于平面ABCD的直線為z軸建立空間直角坐標系．（5分）
則，，則，
平面ABCD的一個法向量為m=（0，0，1），（7分）
所以，
可得PB與平面ABCD所成角的正弦值為
所以PB與平面ABCD所成角的正切值為（10分）
（Ⅲ）易知，則，
設平面PAB的一個法向量為，則，
令x=1，可得（12分）
得，
所以二面角P-AB-D的大小為（14分）
點評：此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面的夾角問題，此類問題一般先找出所求教，然后構造直角三角形，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，計算時要仔細．