Question

定義在R上的偶函數滿足：①對都有

②當且時，都有，若方程在區間上恰有3個不同實根，實數的取值范圍是________．

 

Answer 1

【答案】

【解析】解：∵當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函數在[0，3]上單調遞增．

又f（x）為偶函數，圖象關于y軸（x=0）對稱，故在[-3，0]上為減函數．

令x=-3，則由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0

因為f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）+0=f（x），所以f（x）是周期等于6的周期函數，故函數關于x=6對稱，所以f（9）=0，

因為y=f（x）是R上的偶函數，f（-9）=0，f（-3）=0，

因為f（x）在[0，3]上是增函數，所以[0，3]上只有一解為3，對稱性[-3，0]只有一解為-3，因為f（x+6）=f（x）+f（3），且f（x）在[0，3]上是增函數，

所以f（x）在[6，9]上是增函數，所以[6，9]上只有一解為9，因為f（x）關于x=6對稱，所以f（x）在[3，6]上只有一解為3，

由對稱性知[-9，-6]，[-6，-3]各只有一解-9，-3，

要使方程f（x）=0在區間[a，6-a]上恰有3個不同實根，則區間長度6-2a 滿足 12≤8-2a＜15，解得-7＜a≤-3．

∴實數a的取值范圍是（-7，-3]，

故答案為（-7，-3]．