Question

【題目】如圖1，已知等邊的邊長為3，點，分別是邊，上的點，且，.如圖2，將沿折起到的位置.

（1）求證：平面平面；

（2）給出三個條件：①；②二面角大小為；③.在這三個條件中任選一個，補充在下面問題的條件中，并作答：在線段上是否存在一點，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.注：如果多個條件分別解答，按第一個解答給分

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）要證明平面平面，只需證明平面即可；

（2）選擇條件①②③之一，均需建系，算得向量以及平面的法向量，設直線與平面所成角為，利用計算即可.

（1）由已知得，，， ，

解得，故，∴，

∴，，又∵，

∴平面，平面，∴平面平面.

（2）（ⅰ）若用條件①，由（1）得，和是兩條相交直線，∴平面.

以為原點，，，分別為軸建立空間直角坐標系.

則，設，其中，則.

平面的法向量為.設直線與平面所成角為，

則，解得，

所以不存在滿足條件.

（ⅱ）若用條件②二面角大小為，由（1）得是二面角的平面角，

∴.過作，垂足為，則平面.

在平面中，作，點在的右側.

以為原點，，，分別為軸建立空間直角坐標系.

則，設，其中，則.

平面的法向量為.設直線與平面所成角為，

則，

解得或（舍去），所以存在滿足條件，這時.

（ⅲ）若用條件③，在中，由余弦定理得：

，即，

所以，故.

過作，垂足為，則平面.

同（ⅱ）以為原點，，，分別為軸建立空間直角坐標系.

則，設，其中，則.

平面的法向量為.設直線與平面所成角為，

則，.

解得，所以不存在滿足條件.

【點晴】

本題考查面面垂直的判定定理，以及利用向量法求線面角的問題，考查學生數學運算能力，空間想象能力，是一道中檔題.