Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）過點E作EG⊥CF并CF于G，連接DG，證明AE平行平面DCF內的直線DG，即可證明AE∥平面DCF；
（Ⅱ）過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH，說明∠AHB為二面角A-EF-C的平面角，通過二面角A-EF-C的大小為60°，求出AB即可．
解答：（Ⅰ）證明：過點E作EG⊥CF并CF于G，連接DG，可得四邊形BCGE為矩形．又ABCD為矩形，
所以AD⊥∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG．
因為AE?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF．

（Ⅱ）解：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得
AB⊥平面BEFC，
從而AH⊥EF，
所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角．
在Rt△EFG中，因為EG=AD=．
又因為CE⊥EF，所以CF=4，
從而BE=CG=3．
于是BH=BE•sin∠BEH=．
因為AB=BH•tan∠AHB，
所以當AB=時，二面角A-EF-G的大小為60°．
【考點】空間點、線、面位置關系，空間向量與立體幾何．
【點評】由于理科有空間向量的知識，在解決立體幾何試題時就有兩套根據可以使用，這為考生選擇解題方案提供了方便，但使用空間向量的方法解決立體幾何問題也有其相對的缺陷，那就是空間向量的運算問題，空間向量有三個分坐標，在進行運算時極易出現錯誤，而且空間向量方法證明平行和垂直問題的優勢并不明顯，所以在復習立體幾何時，不要純粹以空間向量為解題的工具，要注意綜合幾何法的應用．
點評：本題主要考查空間線面關系、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力．