Question

已知定義域為[0，1]的函數滿足以下三個條件：①對任意x∈[0，1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁＋x₂≥0，x₁＋x₂≤1，則有f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)成立．

(1)求f(0)的值；

(2)函數g(x)＝2^x－1在區間[0，1]上是否同時適合①②③？并予以證明；

(3)假定存在x₀∈[0，1]，使得f(x₀)∈[0，1]，且f(f(x₀))＝x₀，求證：f(x₀)＝x₀

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由①知：；由③知：，即； 　　∴ 　　(2)證明：由題設知：； 　　由知，得，有； 　　設，則，； 　　∴ 　　即 　　∴函數在區間[0，1]上同時適合①②③ 　　(3)證明：若，則由題設知：，且由①知， 　　∴由題設及③知： 矛盾； 　　若，則則由題設知：，且由①知， 　　∴同理得：，矛盾； 　　故由上述知：