Question

已知，a∈R，f（x）為奇函數，且f（2x）=．
（1）求f（x）的反函數及其定義域；
（2）當x∈（r，k）時，f^-1（x）的值域為（-，+∞）  求k，r的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數f（x）的解析式，根據奇函數可求出a的值，求出函數值域即為反函數的定義域，然后反解出x，將x與y互換即可求出所求；
（2）根據函數的值域，結合函數的圖象建立方程組，解之即可求出．
解答：解：（1）∵f（2x）==．∴f（x）=
又因f（x）為奇函數，所以f（-x）+f（x）=0
即+==0恒成立，
∴a=1
∴f（x）=令t=2x，則t＞0，∴f（t）=
可得f（x）的值域為（-1，1），反解x可得x=log₂
即f^-1（x）=log₂，定義域為（-1，1）
（2）令y=log₂t，t=，又因y＞-
∴t＞結合t=的圖象分析可得
解得k=3-2，r=-1
點評：本題主要考查了反函數，以及函數的基本性質，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．