Question

（本小題滿分13分）  

    設；對任意實數，記

   （1）判斷的奇偶性；

   （2）求函數的單調區間；

   （3）證明：對任意實數恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)為非奇非偶函數，也為非奇非偶函數

（2）故的單調遞增區間為；單調遞減區間為

（3）對任意實數恒成立。

【解析】解：（1）的定義域為不關于原上噗對稱，

    為非奇非偶函數，             …………（2分）  

    而的定義域為R，且

    也為非奇非偶函數             …………（4分）

   （2）函數的定義域為（0，+∞），

    由

    由

    故的單調遞增區間為；單調遞減區間為……（8分）

   （3）解法一：令  ……（10分）

    則

    由時，

    當時，，

    上單調遞減，在上單調遞增，

    上有唯一極小值，也是它的最小值，而在（0，+∞）上的最小值

    …………（13分）

    解法二：對任意，令，

    則

    由

    當；

    當的唯一極小值點，

   

    …………（13分）