Question

已知函數f（x）的圖象與函數h（x）=x++2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）（文）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在區間（0，2]上為減函數，求實數a的取值范圍．
（理）若g（x）=f（x）+，且g（x）在區間（0，2]上為減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設f（x）圖象上任一點坐標為（x，y），點（x，y）關于點A（0，1）的對稱點（-x，2-y）在h（x）的圖象上．
∴2-y=-x++2．
∴y=x+，即f（x）=x+．
（2）（文）g（x）=（x+）•x+ax，
即g（x）=x²+ax+1．
g（x）在（0，2]上遞減?-≥2，
∴a≤-4．
（理）g（x）=x+．
∵g′（x）=1-，g（x）在（0，2]上遞減，
∴1-≤0在x∈（0，2]時恒成立，
即a≥x²-1在x∈（0，2]時恒成立．
∵x∈（0，2]時，（x²-1）_max=3，
∴a≥3．
分析：（1）設f（x）圖象上任一點坐標為（x，y），點（x，y）關于點A（0，1）的對稱點（-x，2-y）在h（x）的圖象上．由此可求出f（x）．
（2）（文）由題意知g（x）=x²+ax+1．由g（x）在（0，2]上遞減可得到實數a的取值范圍．
（理）由題意知g′（x）=1-，g（x）在（0，2]上遞減，1-≤0在x∈（0，2]時恒成立，由此能夠推導出a的范圍．
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．