Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，點為短軸的一個端點， ，若點在橢圓上，則點稱為點的一個“橢點”.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且兩點的“橢點”分別為，以為直徑的圓經過坐標原點，試求的面積.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）由已知得，又，即可得方程；

（2）設，則，由以為直徑的圓經過坐標原點，得，即，由，消除整理得： ，結合韋達定理可得， ，講條件帶入求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）由已知得，又 ，

所以橢圓的方程為： ；

（Ⅱ）設，則，

由以為直徑的圓經過坐標原點，得，

即（1）

由，消除整理得： ，

由，得，

而（2）

（3）

將（2）（3）代入（1）得： ，

即，

又，

原點到直線的距離，

，

把代入上式得，即的面積是為.