Question

已知，直線l：y=kx+2k與曲線C：有兩個不同的交點，設直線l與曲線C圍成的封閉區域為P，在區域M內隨機取一點A，點A落在區域P內的概率為p，若，則實數k的取值范圍為（ ）
A．
B．[0，1]
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：集合M為圓心為原點，2為半徑且在x軸上方的半圓，將直線l的方程變形后，發現直線恒過定點（-2，0），根據題意畫出相應的圖形，結合概率范圍可知直線與圓的關系，直線以（-2，0）點為中心順時針旋轉至與x軸重合，從而確定直線的斜率范圍．
解答：解：畫出圖形，如圖所示：

直線y=kx+2k變形得：y-0=k（x+2），
∴直線恒過定點（-2，0），
又集合M為以原點為圓心，2為半徑且在x軸上邊的半圓，
當直線l過（-2，0），（0，2）時，
它們圍成的平面區域為M，向區域P上隨機投一點A，
點A落在區域M內的概率為P（M），
∵圓的半徑為2，∴半圓面積為2π，
∴S_扇形AOB=π，S_△AOB=OA•OB=×2×2=2，
∴平面區域M的面積S=S_扇形AOB-S_△AOB=π-2，
∴P（M）=，
此時直線l的斜率為=1；
當直線與x軸重合時，P（M）=1，此時直線l的斜率為0，
綜上，直線l的斜率范圍是[0，1]．
故選B
點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：恒過定點的直線方程，概率的求法，以及直線斜率的求法，利用了數形結合的思想，根據題意畫出相應的圖形是本題的突破點．