Question

(1)已知函數f(x)=lnx-x+1，x∈(0，+∞)，求函數f(x)的最大值；
(2)設a_k，b_k(k=1，2，…，n)均為正數，
證明：①若a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≤b₁+b₂+…+b_n，則；
②若b₁+b₂+…+b_n=1，則。

Answer 1

解：(1)f(x)的定義域為(0，+∞)，
令，解得x=1，
當0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)內是增函數；
當x＞1時，f′(x)＜0，f(x)在(1，+∞)內是減函數；
故函數f(x)在x=1處取得最大值f(1)=0．
(2)①由(1)知，當x∈(0，+∞)時，有f(x)≤f(1)=0，即lnx≤x-1，
∵a_k，b_k＞0，從而有lna_k≤a_k-1，得b_klna_k≤a_kb_k-b_k(k=1，2，…，n)．
求和得，
，
∴，即，
∴。
②(i)先證，
令(k=1，2，…，n)，
則，
于是由①得，即，
∴；
(ii)再證，
記，令(k=1，2，…，n)，
則，
于是由(1)得，
即，
∴；
綜合(i)(ii)，②得證．