Question

已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4.

 (Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；

 (Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；

 (Ⅲ)求點P到平面QAD的距離.

Answer 1

解法一　（Ⅰ）連結(jié)AC、BD，設(shè).

由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），由題條件，相關(guān)各點的坐標分別是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.

所以

于是.

從而異面直線AQ與PB所成的角是.

(Ⅲ)由（Ⅱ），點D的坐標是（0，－，0），，     

，設(shè)是平面QAD的一個法向量，由

得.

取x=1，得.

所以點P到平面QAD的距離.

解法二　（Ⅰ）取AD的中點，連結(jié)PM，QM.

因為P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、C四點共面.

因為OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC為平行四邊形，AQ∥PC.

從而∠BPC（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角.

因為，

所以.

從而異面直線AQ與PB所成的角是.

(Ⅲ)連結(jié)OM，則.

所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.

由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 從而PM的長是點P到平面QAD的距離.

在直角△PMO中，.

即點P到平面QAD的距離是.