Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）法一：連接AC，設AC與BD交于O點，連接EO．由底面ABCD是正方形，知OE∥PA由此能夠證明PA∥平面BDE．
法二：以D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=DC=2，則

PA

=(2，0，-2)，

DE

=(0，1，1)，

DB

=(2，2，0)，設

n1

=(x，y，z)是平面BDE的一個法向量，由向量法能夠證明PA∥平面BDE．
（2）由（1）知

n1

=(1，-1，1)是平面BDE的一個法向量，又

n2

=

DA

=(2，0，0)是平面DEC的一個法向量．由向量法能夠求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答：（1）解法一：連接AC，設AC與BD交于O點，連接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴O為AC的中點，又E為PC的中點，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
解法二：以D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，11），B（2，2，0）．
∴

PA

=(2，0，-2)，

DE

=(0，1，1)，

DB

=(2，2，0)，
設

n1

=(x，y，z)是平面BDE的一個法向量，
則由

n1 • DE =0 n1 • DB =0

，得

y+z=0 2x+2y=0

，∴

n1

=(1，-1，1)．
∵

PA

•

n1

=2-2=0，
∴

PA

⊥

n1

，
又PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知

n1

=(1，-1，1)是平面BDE的一個法向量，
又

n2

=

DA

=(2，0，0)是平面DEC的一個法向量．
設二面角B-DE-C的平面角為θ，
由題意可知θ=＜

n1

，

n2

＞．
∴cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

3 ×2

=

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是高考的重點題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．