Question

現有變換公式T：可把平面直角坐標系上的一點P（x，y）變換到這一平面上的一點P′（x′，y′）．
（1）若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2．求該橢圓C的標準方程，并求出其兩個焦點F₁、F₂經變換公式T變換后得到的點F₁^′和F₂^′的坐標；
（2）若曲線M上一點P經變換公式T變換后得到的點P'與點P重合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點．求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標；
（3）在（2）的基礎上，試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的橢圓和雙曲線在變換T下的不動點的存在情況和個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據題a²-b²=2，a²+b²=4，聯立方程組，求的a和b，則橢圓方程方程可得．根據橢圓的性質可氣的焦點坐標，代入變換公式中即可求的點F₁^′和F₂^′的坐標．
（2）依題意設不動點P的坐標為（m，n）依題意則有m+n=m，求的m和n的關系代入橢圓方程中求的n和m，則不動點坐標可得．
（3）設曲線M在變換T下的不動點P（x，y）分情況看橢圓和雙曲線時，先根據變換公式求的x和y的關系，代入橢圓或雙曲線方程看方程得解．
解答：解：（1）依題意可知解得a²=3，b²=1
∴橢圓方程為，焦點坐標為F₁（，0），F₂（-，0）
依題意F₁^′的坐標為（，），F₂^′（-，-）
（2）依題意設不動點P的坐標為（m，n）依題意則有m+n=m，整理的m=3n，代入橢圓方程得
，解得n=，m=或n=-，m=-
∴不動點坐標為（，）（-，-）
（3）由（2）可知，曲線M在變換T下的不動點P（x，y）需滿足
情形一：據題意，不妨設橢圓方程為（m＞0，n＞0），
則有．
因為m＞0，n＞0，所以恒成立，
因此橢圓在變換T下的不動點必定存在，且一定有2個不動點．
情形二：設雙曲線方程為（mn＜0），
則有，因為mn＜0，
故當9n+m=0時，方程無解；
當9n+m≠0時，故要使不動點存在，則需，
因此，當且僅當時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點．否則不存在不動點．
進一步分類可知，
（i）當n＜0，m＞0時，．
即雙曲線的焦點在
軸上時，需滿足時，雙曲線在變換
下一定有2個不動點．否則不存在不動點．
（ii）當n＞0，m＜0時，．
即雙曲線的焦點在y軸上時，需滿足時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點．否則不存在不動點．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學生對圓錐曲線知識的綜合掌握．