Question

【題目】已知是邊長為2的等邊三角形，，當三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

當三棱錐體積最大時，分析得出點C的位置，再根據球的性質，在直角三角形中解出球的半徑，從而求得球的表面積.

解：取的中點，連接，

設的外接圓的圓心為，的外接圓的圓心為，

因為是邊長為2的等邊三角形，

所以面積確定，

要使三棱錐體積最大，

即要使點到平面的距離最大，

只有當平面平面時，體積最大，

即點到邊的距離最大，三棱錐的體積最大，

因為，且，

外接圓的半徑為，

所以點在外接圓上運動，如圖所示

當點滿足時，點到邊的距離最大，三棱錐的體積最大.

此時三棱錐的高即為的長，

此時外接圓的圓心在上，

根據球的性質可知，，，

故四邊形為矩形，

故，

在中，球的半徑平方為，

所以球的表面積為.