Question

（2013•浦東新區二模）已知以4為周期的函數f(x)=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] -cos πx 2 ，x∈(1，3]

，其中m＞0．若方程f（x）=

x

3

恰有5個實數解，則m的取值范圍為（　　）

• A．（

  15

  3

  ，

  8

  3

  ）
• B．（

  15

  3

  ，

  7

  ）
• C．（

  4

  3

  ，

  8

  3

  ）
• D．（

  4

  3

  ，

  7

  ）

Answer 1

分析：作出函數f（x）和y=

x

3

的圖象，要想使方程f（x）=

x

3

恰有5個實數解，則需直線y=

x

3

處在函數f（x）在（3，4）內的曲線切線和f（8）之間．

解答：解：作出函數f（x）和y=g（x）=

x

3

的圖象如圖：若方程f（x）=

x

3

恰有5個實數解，
則直線y=

x

3

處在函數f（x）在（3，4）內的曲線切線和f（8）之間．
∵函數f（x）是周期為4的周期函數，
∴f（8）=f（0）=m，此時g（x）=

8

3

．
∵f（6）=1，g（6）=2＞f（6），
∴此時兩個函數不相交．
當x∈（3，5]時，x-4∈（-1，1]，
∴f（x）=f（x-4）=m

1-(x-4)2

，x∈（3，5]．
由m

1-(x-4)2

=

x

3

，得（9m²+1）²x²+72m²x+135m²=0，
則由△=0，得（72m²）²-4（9m²+1）²×135m²=0，
整理得m2=

135

81

=

15

9

，解得m=

15

3

，
∴要使方程f（x）=

x

3

恰有5個實數解，則

15

3

＜m＜

8

3

，
即m的取值范圍為（

15

3

，

8

3

），
故選：A．

點評：本題綜合考查了方程根的個數的應用，將方程轉化為函數，利用數形結合是解決本題的關鍵，本題難度較大，綜合性較強．