Question

已知函數f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.

(1)解關于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；

(2)若函數f(x)的圖象恒在函數g(x)圖象的上方，求m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)；（2）(－∞，5).

【解析】

試題分析：(1)本題是一個含參不等式的求解，需要按a＝1，a>1，a<1進行討論；（2）f(x)的圖象恒在函數g(x)圖象的上方，即為|x－2|>－|x＋3|＋m對任意實數x恒成立，分離參數為|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．

所以對任意實數x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5.

試題解析：(1)不等式f(x)＋a－1>0，

即|x－2|＋a－1>0，

當a＝1時，解集為x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；

當a>1時，解集為全體實數R；

當a<1時，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－2<a－1，∴x>3－a或x<a＋1，

故解集為(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．

(2)f(x)的圖象恒在函數g(x)圖象的上方，即為|x－2|>－|x＋3|＋m對任意實數x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．

又對任意實數x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，

即m的取值范圍是(－∞，5)．

考點：1.含參不等式的求解；2.不等式恒成立問題.