Question

設函數f（x）=e^x+x-2，g（x）=lnx+x²-3，若實數a，b滿足f（a）=0，g（b）=0，請將0，f（b），g（a）按從小到大的順序排列

 

（用“＜”連接）．

Answer 1

分析：先判斷函數f（x）和g（x）在R上的單調性，再利用f（a）=0，g（b）=0判斷a，b的取值范圍即可．

解答：解：由于y=e^x及y=x-2關于x是單調遞增函數，∴函數f（x）=e^x+x-2在R上單調遞增．
分別作出y=e^x，y=2-x的圖象，
∵f（0）=1+0-2＜0，f（1）=e-1＞0，f（a）=0，
∴0＜a＜1．
同理g（x）=lnx+x²-3在R⁺上單調遞增，
g（1）=ln1+1-3=-2＜0，
由于g（

3

）=ln

3

+(

3

)2-3=

1

2

ln3＞0，
故由 g（b）=0，
可得1＜b＜

3

．
∴g（a）=lna+a²-3＜g（1）=ln1+1-3=-2＜0，
f（b）=e^b+b-2＞f（1）=e+1-2=e-1＞0．
∴g（a）＜0＜f（b）．
故答案為：g（a）＜0＜f（b）．

點評：本題主要考查函數的單調性、不等式與不等關系，熟練掌握函數的單調性、函數零點的判定定理是解題的關鍵，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．