Question

給出下列命題：
①命題“若x≠1且y≠2，則（x-1）²+（y-2）²≠0”為真命題；
②函數f（x）=lnx+x-

3

2

在區間（1，2）上有且僅有一個零點；
③不等式

x-1

(x-2)≥0的解集為[2，+∞]；
④函數y=x+

1

x-1

(x≥3)的最小值為3
其中正確的序號是

①②

（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：設P（x，y）為平面直角坐標系內點，當x≠1，且y≠2時，P點不取（1，2），則P點到（1，2）距離的平方就不可能為零；f（1）•f（2）＜0，f（x）在（1，2）上連續且單調遞增，故有且只有一個零點；由于

x-1

≥，故不等式可化為

x-1

=0或

x-1 ＞0 x-2＞0

或

x-1＞0 x-2=0

，解得x∈{1}∪[2，+∞）；由x≥3，知x-1＞0，故y=(x-1)+

1

x-1

+1≥2

(x-1)× 1 x-1 +1

=3，故此函數無法取到最小值3．

解答：解：①設P（x，y）為平面直角坐標系內點，
當x≠1，且y≠2時，P點不取（1，2），則P點到（1，2）距離的平方就不可能為零，故①為真命題；
②f（1）•f（2）＜0，f（x）在（1，2）上連續且單調遞增，
故有且只有一個零點，故②為真命題；
③由于

x-1

≥0，故不等式可化為

x-1

=0或

x-1 ＞0 x-2＞0

或

x-1＞0 x-2=0

，
解得x∈{1}∪[2，+∞），故③不正確；
∵x≥3，∴x-1＞0，
則y=(x-1)+

1

x-1

+1≥2

(x-1)× 1 x-1 +1

=3，
當且僅當x=2時，等號成立，故此函數無法取到最小值3，故④不正確．
故答案為：①②．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．